MatheAss 10.0 − Geometria 3D

Sistemi di coordinati

Trasformazione fra le coordinate cartesiane, le coordinate polari e le coordinate cilindriche.

cartesiano           polare                          cilindrica
   x  =  1              r  =  1.7320508           ρ  =  1.4142136
   y  =  1             φ  =  45°                      φ  =  45°  
   z  =  1             Θ =  35,26439°            z  =  1

Solidi di Platon

Tutti gli elementi di un tetraedro, un esaedro, un ottaedro, un dodecaedro  e  un icosaedro sono calcolato.

Esempio dodecaedro :

Dato:  
¯¯¯¯  
    Diag. della faccia d = 2

Results:
¯¯¯¯¯¯¯
                      Bordo a = 1,236068
Altezza superficiale h = 1,902113
       Sfera circoscr. rc = 1,7320508
        Sfera inscritta ri = 1,3763819
                  Volume V = 14,472136
                      Area S = 31,543867

Altri solidi

Tutti gli elementi di un prisma regolare, di un cilindro circolare destro, di una piramide quadrata, di un cono circolare destro  o  di una sfera sono calcolato.

Esempio: Cono circolare

Given:
¯¯¯¯¯¯
            Volume V = 1
                Base B = 1

Results:
¯¯¯¯¯¯¯
              Radius r = 0,56418958
             Altitude h = 3
           Apothem s = 3,0525907
 Lateral Surface L = 5,4105761
             Surface S = 6,4105761

Retta tra due punti

Retta tra   A(1|1|1), B(2|5|6)

L'equazione vettoriale
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ->  ⎧ 1 ⎫     ⎧ 1 ⎫
  x = ⎪ 1 ⎪ + t·⎪ 4 ⎪
      ⎩ 1 ⎭     ⎩ 5 ⎭

Distanza dall'origine
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
d = 0,78679579

Proiezione sul piano xy
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Proiezione    :-4·x + y = 3
Punto inters. : S1(0,8|0,2|0)
Angolo inters.: 50.490288°

Proiezione sul piano yz
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Proiezione    :-5·x + 4·y = 1
Punto inters. : S2(0|-3|-4)
Angolo inters.: 8.8763951°

Proiezione sul piano xz
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Proiezione    -5·x + y = 4
Punto inters.  S3(0,75|0|-0,25)
Angolo inters. 38.112927°

Piano tra tre punti

Piano attraverso i punti:
A(1|2|3), B(2|3|3), C(1|0|1)

L'equazione vettoriale:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
->  ⎧ 1 ⎫     ⎧ 1 ⎫     ⎧ 0 ⎫
x = ⎪ 2 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪ + s·⎪ 1 ⎪
    ⎩ 3 ⎭     ⎩ 0 ⎭     ⎩ 1 ⎭

L'equ. in coordinate:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
x - y + z = 2

Distanza dall'origine:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
d = 1,1547005

Punti di traccia:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  Sx (2|0|0)
  Sy (0|-2|0)
  Sz (0|0|2)

Sfera tra 4 punti

Sfera attraverso i punti: 
A(1|0|0), B(0|2|0), 
C(0|0|3), D(1|0|1)

Forma normale:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
     ⎧ ->  ⎧-2,5 ⎫ ⎫2 
 K : ⎪ x - ⎪-0,5 ⎪ ⎪ = 12,75
     ⎩     ⎩ 0,5 ⎭ ⎭

Il centro e il raggio:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
 M(-2,5|-0,5|0,5)
 r = 3,5707142

Intersezioni nello spazio

Il programma calcola le intersezioni di rette, piani e sfere.

Due rette


    ->  ⎧ 5 ⎫     ⎧ 0 ⎫
g : x = ⎪ 0 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪
        ⎩ 0 ⎭     ⎩ 1 ⎭

    ->  ⎧ 0 ⎫     ⎧ 1 ⎫
h : x = ⎪ 5 ⎪ + s·⎪ 0 ⎪
        ⎩ 0 ⎭     ⎩ 1 ⎭

 Punto di intersezione: 
  S (5|5|5)    

 Angolo tra g e h: 60°

 Distanze originali:
 d(O,g) = 5    d(O,h) = 5  

Piano e retta

Piano E:
¯¯¯¯¯¯¯
  E: x + y + z = 5

Retta g:
¯¯¯¯¯¯¯
      ->  ⎧ 5 ⎫     ⎧ 0 ⎫
  g : x = ⎪ 0 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪
          ⎩ 0 ⎭     ⎩ 1 ⎭

Il punto di intersezione:  
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  S (5|0|0)

L'angolo di intersezione:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  α = 54.73561°  

Sfera e retta

La sfera:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  K: M (5|5|5), r = 5

La retta:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯
     ->  ⎧ 1 ⎫     ⎧ 1 ⎫
 g : x = ⎪ 0 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪
         ⎩ 0 ⎭     ⎩ 1 ⎭

Punti di intersezione:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
S1 (2.81867|1.81867|1.81867)
S2 (8.51467|7.51467|7.51467)

Lunghezza della corda:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  s = 9.8657657

Due piani

I due piani:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
 E1: 5·x - 2·y = 5
 E2: 2·x - y + 5·z = 8

La retta di intersezione:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
     ->  ⎧-11 ⎫     ⎧ 10 ⎫
 g : x = ⎪-30 ⎪ + r·⎪ 25 ⎪
         ⎩  0 ⎭     ⎩  1 ⎭

La distanza dall'origine:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  d = 1.5057283

L'angolo tra i piani:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  alfa = 65.993637°

Due sfere

Sfere:
¯¯¯¯¯
  K1:  M1(3|3|3),  r1 = 3
  K2:  M2(1|1|1),  r2 = 3

Cerchio di intersezione:   
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  M(2|2|2), r = 2.4494897

Piano di intersezione:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  E: x + y + z = 6

Sfera e piano

Piano:
¯¯¯¯¯¯
 E : 5·x - 4·y + 5·z = -3   

La sfera:
¯¯¯¯¯¯¯¯
     ⎧ ->   ⎧ 1 ⎫⎫2
 K : ⎪ x  - ⎪ 2 ⎪⎪ = 16
     ⎩      ⎩ 3 ⎭⎭

Cerchio di intersezione:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  M(1|1|1),  r = 2

Distance sulla sfera   (Nuovo nella versione 9.0 da dicembre 2021)

Viene calcolata la distanza tra due punti su una sfera. Il programma è adatto anche per convertire i gradi decimali in gradi, minuti e secondi (dms) e viceversa.

GPS decimale
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  Berlin : 52.523403, 13.4114
New York : 40.714268, -74.005974

GPS dms
¯¯¯¯¯¯¯
  Berlin : 52° 31' 24.2508" N, 13° 24' 41.0400" E
New York : 40° 42' 51.3648" N, 74°  0' 21.5064" W
  .
  .
  .
  
Distanza
¯¯¯¯¯¯¯¯
   d = r · α [rad] = 6385,112