MatheAss 10.0 − Analisi
Successiones e Series (Nuovo nella versione 9.0 da maggio 2021)
Il programma determina i primi n termini di una successione (ai) e la serie associata (somma dei termini della successione) se i primi termini della successione e una funzione esplicita ai=ƒ(i) o una formula di ricorso ai=ƒ(a0, a1, ... , ai-1) sono dati.
Successione ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ( a[ i ] ) = (1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19) Serie ¯¯¯¯ ( Σ a[ i ] ) = (1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100)
Divisione dei polinomi
Il prodotto ed il quoziente di polinomi dovuti saranno calcolati.
1° polinomio: 3·x4 - 2 x + 1
2° polinomio: 2·x + 5
Prodotto: 6·x5 + 15·x4 - 4·x2 - 8·x + 5
Quoziente: 3/2·x3 - 15/4·x2 + 75/8·x - 391/16
Resto: 1971/16
Fattorizzazione di polinomi (Nuovo nella versione 9.0)
Gli zeri razionali e la decomposizione di un polinomio in fattore lineare sono determinati.
p(x) = x5 - 9·x4 - 82/9·x3 + 82·x2 + x - 9
= (1/9)·(9·x5 - 81·x4 - 82·x3 + 738·x2 + 9·x - 81)
= (1/9)·(3·x - 1)·(3·x + 1)·(x - 9)·(x - 3)·(x + 3)
Zeri rationali: 1/3, -1/3, 9, 3, -3
Trasformazione di polinomi (Nuovo nella versione 9.0)
Un polinomio p(x) può essere spostato o allungato nella direzione x e nella direzione y.
ƒ(x) = - 1/4·x4 + 2·x3 - 16·x + 21 Spostato di dx = -2, dy = 0 ƒ(x + 2) = - 1/4 ·x4 + 6 ·x2 + 1
MCD e MCM di polinomi (Nuovo nella versione 9.0 da febbraio 2021)
Vengono determinati il massimo comune divisore (MCD) e il minimo comune multiplo (LCM) di due polinomi. p1(x) e p2(x).
p1(x) = 4·x6 - 2·x5 - 6·x4- 18·x3 - 2·x2 + 24·x + 8 p2(x) = 10·x4- 14·x3 - 22·x2 + 14·x + 12 MCD(p1,p2) = x2 - x - 2 LCM(p1,p2) = 40·x8 - 36·x7 - 76·x6 - 144·x5 + 88·x4+ 356·x3 - 4·x2 - 176·x - 48
Tracciatore di funzioni
È possibile tracciare fino a dieci funzioni contemporaneamente in un sistema di assi. è inoltre possibile utilizzare combinazioni o derivazioni di funzioni precedentemente definite.
Se f1(x)=sin(x) e f2(x)=3*sqrt(x), allora f3(x) = 2*y1^2-y2 sostituisce f3(x) = 2*sin(x)^2 - 3*sqrt(x) f4(x) = f2(y1) sostituisce f4(x) = 3*sqrt(sin(x)) f5(x) = y2' sostituisce f5(x) = 3/(2*sqrt(x))
Esempio: ƒ1(x) = sin(x) ; ƒ2(x) = x ; ƒ3(x) = y1+y2
Funzioni a tratti
Viene disegnata una funzione definita da varie sottofunzioni, ciascuna definita su un certo sottodominio.
Esempio:
Curve parametriche
Con questo programma si possono disegnare curve che non sono date da un termine di funzione esplicito, ma da due funzioni di deflessione orizzontale e verticale.
Esempio: Figura di Lissajous
x(k) = sin(3*k)
y(k) = cos(5*k)
k from -Pi to Pi
Le figure di Lissajou si ottengono quando due tensioni c.a. con frequenze diverse vengono applicate a un oscilloscopio.
Famiglia di curve
Il programma disegna i grafici di una funzione che contenga un parametro k. I valori per k possono essere elencati o determinati dal valore iniziale, dal valore finale e dal passo.
ƒ(x,k) = sin(x+k)
k da -2 a 2 con passo Pi/4
Studio di funzioni polinomiali
(Nuovo nella versione 9.0)
Il programma svolge la discussione sulla curva per una funzione polinomiale. Ciò significa che
vengono determinati i derivati e la antiderivata
e la funzione viene esaminata per zeri razionali, per estremi, per punti di flesso e per simmetria.
Funzione:
¯¯¯¯¯¯¯¯
ƒ(x) = 3·x4 - 82/3·x2 + 3
= 1/3·(9·x4 - 82·x2 + 9)
= 1/3·(3·x - 1)·(3·x + 1)·(x - 3)·(x + 3)
Derivati:
¯¯¯¯¯¯¯
ƒ'(x) = 12·x3 - 164/3·x
ƒ"(x) = 36·x2 - 164/3
ƒ'"(x) = 72·x
Antiderivativa:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
F(x) = 3/5·x5 - 82/9·x3 + 3·x + c
.
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Studio di funzioni razionali
(Nuovo nella versione 9.0)
Il programma svolge la discussione sulla curva per una funzione razionale. Ciò significa che vengono determinate le derivati, le lacune nella definizione e la continuazione continua. La funzione viene esaminata per zeri, estremi, punti di flesso e comportamento di |x|→ ∞.
Funzione :
¯¯¯¯¯¯¯¯
3·x3 + x2 - 4 (x - 1)·(3·x2 + 4·x + 4)
ƒ(x) = —————— = ———————————
4·x2 - 16 4·(x - 2)·(x + 2)
Singularitás:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
x = 2 Palo con cambio di segno
x =-2 Palo con cambio di segno
Derivati:
¯¯¯¯¯¯¯¯
3·(x4 - 12·x2) 3·(x2·(x2 - 12))
ƒ'(x) = ———————— = ————————
4·(x4 - 8·x2 + 16) 4·(x - 2)2·(x + 2)2
6·(x3 + 12·x) 6·(x·(x2 + 12))
ƒ"(x) = ——————————— = ———————
x6 - 12·x4 + 48·x2 - 64 (x - 2)3·(x + 2)3
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Studio di funzioni arbitrarie
Funzione: ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ ƒ(x) = x^4-2*x^3+1 Studio nella gamma da -10 to 10 Derivati: ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ ƒ'(x) = 4*x^3-6*x^2 ƒ"(x) = 12*x^2-12*x Zeri: ‾‾‾‾‾‾‾ N1(1|0) m = - 2 N2(1,83929|0) m = + 4,5912 Estremi: ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ T1(1,5|-0,6875) m = 0 Punti di flesso: ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ W1(0|1) m = + 0 W2(1|0) m = - 2
Iterazione di Newton
Approssimazione degli zeri di una funzione ƒ(x) con il metodo del Newton con una prima congettura x0.
ƒ(x) = x-cos(x)
x ƒ(x) ƒ'(x)
———————— —————— ——————
x0 = 1
x1 = 0,75036387 0,45969769 1,841471
x2 = 0,73911289 0,018923074 1,681905
x3 = 0,73908513 0,00004646 1,6736325
x4 = 0,73908513 0,00000000 1,673612
Integral Calculus (from February 2021 with arc lengths)
The oriented and absolute contents of the surface between two function curves are calculated at a desired interval [a; b].
In addition the twisting moments for rotation, the bodies of revolution and the arc lengths in the interval.
ƒ1(x) = cosh(x) ƒ2(x) = x^2+1 Limits of integration from -2 to 2 Oriented content : A1 = -2,07961 Absolute content : A2 = 2,07961 Arc lengths : L1[a;b] = 7,254 L2[a,b] = 9,294
Espansione in serie
Tracciatore per le funzioni date come serie sopra la ƒ(x,k). Potete sviluppare la funzione con differenti gamme di parametro e differente y-sfalsi.
I primi 16 membri della serie Taylor per la funzione seno. ƒ(x,k) = x^(2*k-1)/fac(2*k-1)*(-1)^(k+1) , k = 4, 8 e 16
Funzioni di superficie
Tracciatore per una funzione di superficie ƒ(x,y), che può contenere un subterm u(x,y).
Esempio:
ƒ(x, y) = sin(u) / u
u(x, y) = sqrt(x * x + y * y)
-9 ≤ x ≤ 9
-9 ≤ y ≤ 9;
-0,5 ≤ z ≤ 1,5
