Fattorizzazione di polinomi
Gli zeri razionali e la decomposizione di un polinomio in fattore lineare sono determinati.
p(x) = a9·x9 + a8·x8 + ... + a0.
I coefficienti del polinomio possono essere inseriti come frazioni, come frazioni misti o come numeri decimali.
p(x) = x5 - 9·x4 - 82/9·x3 + 82·x2 + x - 9
= (1/9)·(9·x5 - 81·x4 - 82·x3 + 738·x2 + 9·x - 81)
= (1/9)·(3·x - 1)·(3·x + 1)·(x - 9)·(x - 3)·(x + 3)
Zeri rationali: 1/3, -1/3, 9, 3, -3
Innanzitutto, i coefficienti vengono portati a numeri interi escludendo i fattori di frazione. Vengono quindi determinati gli zeri razionali e il polinomio suddiviso in fattori lineari associati. I fattori che non hanno zeri razionali non vengono ulteriormente scomposti.
Ulteriori esempi:
p(x) = x6 + x5 - 5·x4 - 5·x3 + 4·x2 + 4·x
= x·(x - 1)·(x + 1)2·(x - 2)·(x + 2)
Zeri rationali: 0, 1, -1, 2, -2
p(x) = x6 - 36·x5 + 505·x4 - 3480·x3 + 12139·x2 - 19524·x + 10395
= (x - 1)·(x - 3)·(x - 5)·(x - 7)·(x - 9)·(x - 11)
Zeri rationali: 1, 3, 5, 7, 9, 11
p(x) = 0,2·x5 + x4 + 2·x3 + 2·x2 + x + 0,2
= (1/5)·(x5 + 5·x4 + 10·x3 + 10·x2 + 5·x + 1)
= (1/5)·(x + 1)5
Zeri rationali: -1
p(x) = -432·x5 - 648·x4 + 837·x3 + 1835·x2 + 875·x + 125
= (3·x + 1)2·(3·x - 5)·(4·x + 5)2
Zeri rationali: -1/3, 5/3, -5/4
p(x) = x5 + 3·x4 + 8/3·x3 - x - 1/3
= (1/3)·(3·x5 + 9·x4 + 8·x3 - 3·x - 1)
= (1/3)·(x + 1)3·(3·x2 - 1)
Zeri rationali : -1
Zeri irrationali: -0,57735, 0,57735
Se, come nell'ultimo esempio, rimane un polinomio residuo con un grado inferiore o uguale a 4, è possibile determinare eventuali zeri irrazionali rimanenti utilizzando la parte del programma Algebra/Equazioni di 4° grado .
Se il grado del polinomio residuo è maggiore di 4, è ancora possibile cercare graficamente ulteriori zeri utilizzando la parte del programma Analisi/Discussione curva .
Vedi anche:
Wikipedia: Scomposizione dei polinomi