MatheAss 10.0 − Stochastique

Statistiques

Ce module calcule la moyenne, la médiane, la variance et l'écart-type d'une série d'observations, et génère un histogramme.

Données :
9 6 7 7 3 9 10 1 8 7 9 6 9 8 10 5 10 10 9 11 8

Nombre de données     n = 21
Maximum               max = 11
Minimum               min = 1
Moyenne               x = 7,7142857
Médiane               c = 8
Variance              s2 = 6,1142857
Écart-type            s = 2,4727082

Régression

Ce module ajuste une série de points selon les types de régression suivants :

  • Régression proportionnelle     y = b·x
  • Régression linéaire           y = a + b·x
  • Régression polynomiale        y = a0 + ... + an·xn
  • Régression géométrique        y = a·xb
  • Régression exponentielle       y = a·bx
  • Régression logarithmique      y = a + b·ln(x)
Régression polynomiale

 y =  −6,9152542
     + 4,7189266·x
     − 0,43361582·x2

Coeff. de détermination = 0,98338318
Coeff. de corrélation   = 0,99165679
Écart-type              = 0,46028731

Régression logistique  (Nouveau en version 9.0)

Ce module ajuste une série de mesures à une courbe logistique
avec les paramètres  a1 = ƒ(0)·S, a2 = ƒ(0), a3 = S − ƒ(0), et a4 = −k·S, où S est la limite de saturation.

Données : "hopfenwachstum.csv"

Limite de saturation : 6
Figure sombre : 1

                                 4,0189
ƒ(x) = ————————————————
             0,66981 + 5,3302 · e^(-0,35622·t)

Point d'inflexion W(5,8226 / 3)

Taux de croissance maximal ƒ'(xw) = 0,53433

8 valeurs
Coeff. de détermination = 0,99383916
Coeff. de corrélation      = 0,99691482
Écart-type                      = 0,16172584

Combinatoire

Ce module calcule le nombre de sélections de k éléments parmi un ensemble de n. Il distingue les arrangements et les combinaisons, avec ou sans répétition, ainsi que les permutations.

n = 49, k = 6

Arrangements sans répétition          n! / (n−k)!  = 10 068 347 520
Arrangements avec répétition                n^k     =  13 841 287 201
Combinaisons sans répétition           n sur k     =     13 983 816
Combinaisons avec répétition     n+k−1 sur k   =     25 827 165

Permutations de k éléments              k!       =        720

Distribution binomiale

Pour une variable aléatoire X suivant la loi b(k;n;p) avec n et p donnés, le module calcule :

  • un histogramme des probabilités P(X = k)
  • les valeurs numériques dans un intervalle [kmin; kmax]
  • la probabilité P(kmin ≤ X ≤ kmax)
n = 50             p = 0,3

    k             P(X=k)         P(0<=X<=k) 
  ¯¯¯¯    ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯     ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
    8         0,01098914     0,01825335
    9         0,02197829     0,04023163
  10        0,03861899     0,07885062
  11        0,06018544     0,13903606
  12        0,08382972     0,22286578
  13        0,10501745     0,32788324
  14        0,11894834     0,44683157
  15        0,12234686     0,56917844
  16        0,11470018     0,68387862
  17        0,09831444     0,78219306
  18        0,07724706     0,85944012
  19        0,05575728     0,91519740
  20        0,03703876     0,95223616
  21        0,02267679     0,97491296
  22        0,01281092     0,98772387
  ¯¯¯¯    ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯     ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  P(8<=k<=22) =            0,98045967

Distribution hypergéométrique

Pour une variable aléatoire  X  distribué de h(k;n;m;r) avec n,m et r donnés, le programme calcul un histogramme des probabilitées P(X=k), leurs valeurs numériques dans un intervalle [kmin;kmax], et la probabilité P( kmin≤X≤kmax).


Distribution normale

Pour une variable aléatoire distribuée N(µ, σ2), avec l'estimation μ et la variante σ2, le programme trace la fonction de densité ƒ(x) et la fonction de distribution Φ(x), c'est-à-dire l'intégrale sur ƒ(x).

  μ = 5 ,      σ = 0.75

         x                    ƒ(x)                Φ(x)     
  ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯  ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯  ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  2                    0,00017844   0,00003167
  2,33333333   0,00095649   0,00018859
  2,66666666   0,00420802   0,00093192
  2,99999999   0,01519465   0,00383038
  3,33333332   0,04503153   0,01313415
  3,66666665   0,10953585   0,03772017
  3,99999998   0,21868009   0,09121120
  4,33333331   0,35832381   0,18703139
  4,66666664   0,48189843   0,32836063
  4,99999997   0,53192304   0,49999998
  5,33333333   0,48189845   0,67163934
  5,66666663   0,35832383   0,81296859
  5,99999996   0,21868012   0,90878878
  6,33333329   0,10953586   0,96227982
  6,66666662   0,04503154   0,98686585
  6,99999995   0,01519465   0,99616962
  7,33333328   0,00420802   0,99906808
  7,66666661   0,00095649   0,99981141
  7,99999994   0,00017844   0,99996833