Tangenti dei cerchi - Calculazione

Pole e Polar

Il cerchio k attorno al centro M con raggio r è descritto dall'equazione
(x - x_M)² + (y - y_M)² = r ² .

Se inserisci le coordinate del punto P in un fattore per x  e  y nei due quadrati a sinistra, ottieni la seguente equazione, che descrive una retta.
(x_P - x_M)·(x - x_M) + (y_P - y_M)·(y - y_M) = r ² .
Si chiama polare al polo P ed è un potente aiuto per determinare le equazioni tangenti.

Le tangenti a una circonferenza k passante per un punto P.

Se sul cerchio sono indicati un cerchio k e un punto P, la polare di P è la tangente desiderata

Dato un cerchio k e un punto P esterno a k, il polare di P interseca il cerchio nei due punti di contatto delle tangenti per P. Quindi l'equazione del polare è risolta per y (o per x, se il coefficiente di y è zero) e inseriscilo nell'equazione circolare. Con i punti di contatto B₁ e B₂ calcolati in questo modo si impostano le equazioni delle tangenti t₁ = (PB₁) et₂ = (PB₂).

Se il punto P si trova all'interno del cerchio, la polare è una linea retta fuori dal cerchio. I punti su questo hanno tutti la proprietà che la loro polare si interseca in P.

Le tangenti a un cerchio k parallelo a una retta g

Se vengono forniti un cerchio k e una retta  g: a x + b y = c, la retta perpendicolare su g attraverso il centro M del cerchio interseca questo nei punti di contatto B₁ e B₂ . Per i coefficienti della retta perpendicolare si applica  a'=−b  e  b'=a. La somma  della costante  c'  si ottiene inserendo i coefficienti di M.

Le tangenti a due cerchi k₁ e k₂

Se  r₁  e  r₂  sono i raggi dei cerchi k₁ e k₂, allora assumiamo che  r₁>r₂. Se questo non è il caso, i cerchi vengono scambiati.

Quante tangenti comuni hanno in comune due cerchi dipende dalla posizione reciproca dei cerchi:

a)  |M₁M₂| = r₁−r₂
Il modo più semplice per calcolare il punto di contatto comune B è aggiungere la r₂/|M₁M₂|-piega del vettore da M1 a M₂ al vettore di posizione di M₂. La tangente è la perpendicolare a (M₁M₂) in B.

b)  |M₁M₂| > r₁−r₂
Per determinare le tangenti esterne a due cerchi, si determinano prima le tangenti a un cerchio k₃ attorno a M₁ con raggio r₃=r₁−r₂ attraverso M₂ (analogo "Tangente a k attraverso P"). Se P₁ e P₂ sono i punti di contatto su k₃, allora questo si sposta di r₁/r₃ volte il vettore da M₁ a P₁  o  P₂ (cfr. a)).

Due cerchi con lo stesso raggio formano un caso speciale, poiché il cerchio ausiliario k₃ avrebbe raggio zero. In questo caso le tangenti sono determinate analogamente all'esercizio "Tangente a k parallelamente a g" con g=(M₁M₂).

c)  |M₁M₂| = r₁ + r₂
Se i due cerchi si toccano dall'esterno, c'è una terza tangente comune t3. Il punto di contatto comune divide la distanza M₁M₂ nel rapporto r₁:r2. La tangente t3 è ortogonale a M₁M₂.

d)  |M₁M₂| > r₁ + r₂
Se k₂ si trova completamente al di fuori di k₁, ci sono due tangenti comuni "interne" che si intersecano fra i cerchi.
Per determinare le tangenti interne a due cerchi, si determinano prima le tangenti a un cerchio k₃ attorno a M₁ con raggio r₃=r₁+r₂ attraverso M₂ (analogo "Tangente a k attraverso P"). Se P₁ e P₂ sono i punti di contatto su k₃, allora questi vengono spostati di r₁/r₃ volte il vettore da M₁ a P₁  o  a P₂ (cfr. a)).

Vedi anche:

Wikipedia: Tangente alla circonferenza | Pole and Polar