MatheAss 10.0 Algèbre

Équations du 4e degré

Le programme détermine les solutions dans le réelles d'une équation du 4e degré ou moins.

a·x4 + b·x3 + c·x2 + d·x + e = 0

Exemple:

Pour déterminer la solution de l'équation   x4 + 2x3 - 8x2 -18x - 9 = 0  , entré les coefficients a jusqu'à e comme ça:

Nous obtenons la solution:

x4 + 2·x3 - 8·x2 - 18·x - 9 = 0   <=>   (x + 1)2·(x - 3)·(x + 3) = 0
L = {-3;  -1;  3}

La formule pour les équations du second degré est connu pour chaque élève. La formule pour les équations du troisième degré, a été trouvé par Scipione del Ferro en 1530 mais publié seulement après sa mort par son élève Ceralamo Cardano. L'extension aux équations de la quatrième degré Cardano lui-même a attribué à son élève Lodovico Ferrari.

Équations de 5e degré ou plus grand

En 1824, le mathématicien norvégien Niels Henrik Abel a réussi à démontrer que, sauf cas particulier, il ne peut y avoir de formule de solution pour les équations de degré supérieur à 4. Il reste alors des calculs d'approximation comme ceux utilisés pour déterminer les zéros dans la partie du programme Étude des fonctions arbitraires.

La division polynomiale offre parfois une solution, lorsqu'une solution a été trouvée par tâtonnement.
Si q est une solution, on trouve les solutions résiduelles en divisant par (x-q).

Par exemple  x5 - 12x3 - 2x2 + 27x + 18 = 0  a la solution  x1 = 2 .

(x5 - 12x3 - 2x2 + 27x + 18) : (x - 2 ) = x4 + 2x3- 8x2 - 18x - 9

L'équation   x4 + 2x3- 8x2 - 18x - 9 = 0   donne les solutions restantes.

La factorisation des polynômes est encore plus rapide. Il fournit toutes les solutions rationnelles:

p(x) = x5 - 12x3 - 2x2 + 27x + 18
      = (x + 1)2·(x - 2)·(x - 3)·(x + 3)

Zéros rationnels: -1, 2, 3, -3

Voir aussi:

Wikipedia: Equation cubique | Méthode de Cardan
Wikipedia: Scipione del Ferro | Gerolamo Cardano | Ludovico Ferrari
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