Modelos de crecimiento

La regresión consiste en determinar los parámetros desconocidos de un modelo de crecimiento o una función dada para una serie de datos de medición de tal manera que el modelo final se adapte a los datos lo mejor posible.
Los modelos considerados con frecuencia son:

Crecimiento lineal

Con crecimiento lineal, la tasa de cambio, es decir, la derivación de la función de crecimiento, es constante.
El diagrama correspondiente es una línea recta.

Crecimiento exponencial

Con un crecimiento exponencial, la tasa de cambio es proporcional a la población:   ƒ'(t) ∼ ƒ(t)

Crecimiento limitado

Con crecimiento limitado, la tasa de cambio es proporcional al déficit de saturación, que es la diferencia entre el límite de saturación S   y la población:   ƒ'(t) ∼ (S − ƒ(t))

Crecimiento logístico

Con el crecimiento logístico, se supone que la población crece esencialmente exponencialmente al principio, pero que el crecimiento se ralentiza cada vez más a medida que se acerca al límite de saturación. Por tanto, se supone que la tasa de cambio es proporcional tanto a la población como al déficit de saturación. Esto da como resultado la ecuación diferencial:   ƒ'(t) = k · ƒ(t) · (S − ƒ(t))
que tiene la solución:

Para un límite de saturación dado S , el programa determina el valor inicial ƒ(0)  y el factor de proporcionalidad k   para adaptar la función ƒ(t)  a los pares de valores dados.

Método

El programa determina la función logística ƒ(t)  en la forma: 

Los parámetros son    a₁ = ƒ(0) · S ,  a₂ = ƒ(0) ,  a₃ = S - ƒ(0)  y  a₄ = -k · S  .

S   es el límite de saturación, es decir, el valor al que la función se acerca asintóticamente.
ƒ(0)   es el valor de la función en el punto t = 0  , que no tiene por qué coincidir con el primer valor medido.

además, se determina el punto de inflexión de la función, es decir, el punto a partir del cual la pendiente vuelve a disminuir.
El valor de la función en el punto de inflexión es siempre igual a la mitad del límite de saturación de modo  ƒ(t_w ) = ½ · S  .
La derivada ƒ'(t_w )  en el punto de inflexión proporciona la tasa de crecimiento máxima,

Los parámetros de la función logística se determinan de la siguiente manera:

1. Paso: Forme la función recíproca de ƒ(t)  para obtener la suma del denominador al numerador.
2. Paso: Sacar el logaritmo de ambos lados para obtener el exponente t .
3. Paso: Traiga la ecuación a la forma h(t) = m · t + b .
4. Paso: Realice una regresión lineal para los pares de valores ( t  | h(t) ).
5. Paso: Deshacer la transformación para  m  y  b .

La regresión lineal también proporciona el coeficiente de determinación, el coeficiente de correlación y la desviación estándar.